En esta página definimos el espacio de Sierpiński y enunciamos (y demostramos) algunas de sus propiedades básicas.
Índice:
El espacio de Sierpiński es un espacio topológico finito formado por dos puntos, de los cuales sólo uno es cerrado. Es un espacio importante puesto que es el espacio más pequeño sin ser el espacio trivial ni el discreto.
El espacio de Sierpiński es el conjunto \(S = \{0, 1\}\) con la siguiente topología:
$$ \mathcal{T}_S = \{\emptyset , \{1\}, S\}$$
Por definición, los conjuntos abiertos son \(\emptyset\), \(\{1\}\) y \(S\).
Los conjuntos cerrados son \(\emptyset\), \(\{0\}\) y \(S\).
La clausura de \(\{0\}\) es \(\{0\}\) por ser un conjunto cerrado.
La clausura de \(\{1\}\) es \(S\) porque el menor cerrado que contiene al abierto \(\{1\}\) es \(S\).
Los puntos 0 y 1 son puntos topológicamente distinguibles porque el conjunto \(\{1\}\) es abierto y no contiene a 0 (por tanto, los puntos no tienen los mismos entornos).
Enlace: espacio de Kolmogórov.
Existe un entorno de 1 que no contiene a 0, pero no existe un entorno de 0 que no contenga a 1.
Enlace: espacio de Fréchet.
Como \(T_{n+1}\rightarrow T_n\) y \(S\) no es \(T_1\), no puede ser \(T_{n}\) con \(n>1\).
En particular,
Enlace: espacio de Hausdorff.
Como es finito, todo recubrimiento abierto del espacio admite un subrecubrimiento finito.
Como curiosidad, \(\{1\}\) es un subconjunto compacto no cerrado.
Por ser finito, admite una base numerable de abiertos (es 2AN). Como consecuencia, es también 1AN.
Enlace: axiomas de numerabilidad.
Cualquier recubrimiento de \(S\) contiene a \(S\) puesto que \(0\) es cerrado y \(S\) es el único abierto que lo contiene.
El único abierto que contiene a \(0\) es \(S\). Por tanto, como toda sucesión está en \(S\), converge a \(0\).
Supongamos que una sucesión \(x_n\) converge a \(1\) y tiene infinitos términos iguales a \(0\). Consideremos la subsucesión \(x_{n_k}\) formada por los infinitos términos nulos.
Por la convergencia de la sucesión, dado el abierto \(\{1\}\), existe un natural \(n_0\) tal que \(x_n \in \{1\}\) para \(n>n_0\). Es decir, \(x_n = 1\) para \(n>n_0\).
Como consecuencia, la subsucesión \(x_{n_k}\) cumple \(x_{n_k} = 1\) para \(n_{k_n} > n_0\), lo que contradice que hay infinitos términos iguales a 0.
La única posible métrica es la definida por \(d(x,y)=0\) si \(x=y\) y \(d(x,y)=k\in\mathbb{R}^+\) si \(x\neq y\).
Si \(k_0<k\), entonces la bola de radio \(k_0\) y centro \(0\) es el conjunto \({0}\). Pero este conjunto no es abierto y, por tanto, la topología que induce esta métrica no es equivalente a la de Sierpiński.