En esta página definimos la recta de Sorgenfrey, proporcionamos ejemplos de abiertos y cerrados de la misma y demostramos algunas propiedades.
Índice:
Sobre la recta real \(\mathbb{R}\) se define la topología de Sorgenfrey o del límite inferior a la generada por la siguiente base de abiertos:
$$ \mathcal{B} := \{ [a,b): a,b\in\mathbb{R},\ a< b\} $$
A este espacio topológico se le domina recta de Sorgenfrey, \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\), y al espacio producto \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\times \mathbb{R}_\mathcal{l}\) se le denomina plano de Sorgenfrey.
Nota: recordad que una base de abiertos \(\mathcal{B}\) es una colección de abiertos de la topología cumpliendo que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de \(\mathcal{B}\).
Los intervalos con la forma \(A = [a,+\infty )\), \(B = (-\infty , a) \), \(C = (a, +\infty)\) y \(D = (a,b)\) son abiertos.
El intervalo \(A\) puede expresarse como unión de abiertos:
$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} [a, a+n) $$
El intervalo \( B = (-\infty , a) \) también es unión de abiertos:
$$ (-\infty , a) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a-n, a) $$
El intervalo \(C\) también:
$$ C = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a+1/n, a+n) $$
Y el intervalo \(D\) también:
$$ (a,b) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left[a+\frac{|b-a|}{2n},b\right) $$
Los intervalos con la forma \(A = [a,b)\) son abiertos y cerrados.
Que sea abierto es directo. Veamos que es cerrado:
El complementario de \(A\) es
$$ \mathbb{R}- A = (-\infty , a) \cup [b, +\infty ) $$
Los intervalos \( (-\infty , a) \) y \( [b, +\infty ) \) son abiertos (ejemplo 1). Por tanto, \(\mathbb{R}-A\) es abierto por ser unión de abiertos, lo que implica que \( A\) es cerrado.
Los intervalos con la forma \(B = (-\infty ,a)\) son abiertos y cerrados.
En el ejemplo 1 vimos que \(B\) es abierto.
Es cerrado porque su complementario \([a, +\infty )\) es abierto por ser unión de abiertos:
$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a, a+n) $$
Los intervalos con la forma \(A =[a, +\infty )\) son abiertos y cerrados.
En el ejemplo 1 vimos que \(A\) es abierto.
Es cerrado porque su complementario \((-\infty, a)\) es abierto (visto en el ejemplo 1).
Los puntos son cerrados, pero no son abiertos.
Sea \(x\in\mathbb{R}\). Obviamente, \(\{x\}\) no es abierto puesto que no existe ningún elemento de la base contenido en \(\{x\}\).
Es cerrado porque su complementario es unión de abiertos:
$$ \mathbb{R}-\{x\} = (-\infty, x)\cup (x,+\infty )$$
La topología de Sorgenfrey es más fina que la usual, es decir, los abiertos de la topología usual son abiertos de la topología de Sorgenfrey.
Los abiertos en la topología usual son intervalos abiertos, sus intersecciones y sus uniones. Por tanto, son abiertos en la topología de Sorgenfrey.
Es un espacio de Hausdorff y, por tanto, de Kolmogórov y de Fréchet. Como consecuencia (de ser Hausdorff), los conjuntos compactos son cerrados.
Dados dos puntos distintos \(a\) y \(b\) (suponemos \(a< b\)), los intervalos \(A = [a, a+\varepsilon )\) y \(B = [b, b+\varepsilon )\) con \( \varepsilon < |b-a|\) son abiertos disjuntos que contienen a \(a\) y a \(b\), respectivamente.
Es un espacio separable.
El subconjunto de los racionales, \(\mathbb{Q}\), es numerable. Además, es denso: su clausura es \(\mathbb{R}\) puesto que todo entorno de un número real intersecta con \(\mathbb{Q}\).
No es metrizable.
Los espacios métricos separables son 2AN, así que no puede ser metrizable.