Topología de Sorgenfrey

En esta página definimos la recta de Sorgenfrey, proporcionamos ejemplos de abiertos y cerrados de la misma y demostramos algunas propiedades.

Índice:

  1. Definición
  2. Ejemplos de abiertos y cerrados
  3. Algunas propiedades

1. Definición

Sobre la recta real \(\mathbb{R}\) se define la topología de Sorgenfrey o del límite inferior a la generada por la siguiente base de abiertos:

$$ \mathcal{B} := \{ [a,b): a,b\in\mathbb{R},\ a< b\} $$

A este espacio topológico se le domina recta de Sorgenfrey, \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\), y al espacio producto \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\times \mathbb{R}_\mathcal{l}\) se le denomina plano de Sorgenfrey.

Nota: recordad que una base de abiertos \(\mathcal{B}\) es una colección de abiertos de la topología cumpliendo que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de \(\mathcal{B}\).

2. Ejemplos de abiertos y cerrados

Ejemplo 1

Los intervalos con la forma \(A = [a,+\infty )\), \(B = (-\infty , a) \), \(C = (a, +\infty)\) y \(D = (a,b)\) son abiertos.

Demostración

Ejemplo 2

Los intervalos con la forma \(A = [a,b)\) son abiertos y cerrados.

Demostración

Ejemplo 3

Los intervalos con la forma \(B = (-\infty ,a)\) son abiertos y cerrados.

Demostración

Ejemplo 4

Los intervalos con la forma \(A =[a, +\infty )\) son abiertos y cerrados.

Demostración

Ejemplo 5

Los puntos son cerrados, pero no son abiertos.

Demostración

3. Propiedades

Propiedad 1

La topología de Sorgenfrey es más fina que la usual, es decir, los abiertos de la topología usual son abiertos de la topología de Sorgenfrey.

Demostración

Propiedad 2

Es un espacio de Hausdorff y, por tanto, de Kolmogórov y de Fréchet. Como consecuencia (de ser Hausdorff), los conjuntos compactos son cerrados.

Demostración

Propiedad 3

Es un espacio separable.

Demostración

Propiedad 4

Es un espacio 1AN, pero no es 2AN.

Demostración

Propiedad 5

No es metrizable.

Demostración





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