Topología de Sorgenfrey

En esta página definimos la recta de Sorgenfrey, proporcionamos ejemplos de abiertos y cerrados de la misma y demostramos algunas propiedades.

Índice:

  1. Definición
  2. Ejemplos de abiertos y cerrados
  3. Algunas propiedades

1. Definición

Sobre la recta real \(\mathbb{R}\) se define la topología de Sorgenfrey o del límite inferior a la generada por la siguiente base de abiertos:

$$ \mathcal{B} := \{ [a,b): a,b\in\mathbb{R},\ a< b\} $$

A este espacio topológico se le domina recta de Sorgenfrey, \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\), y al espacio producto \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\times \mathbb{R}_\mathcal{l}\) se le denomina plano de Sorgenfrey.

Nota: recordad que una base de abiertos \(\mathcal{B}\) es una colección de abiertos de la topología cumpliendo que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de \(\mathcal{B}\).

2. Ejemplos de abiertos y cerrados

Ejemplo 1

Los intervalos con la forma \(A = [a,+\infty )\), \(B = (-\infty , a) \), \(C = (a, +\infty)\) y \(D = (a,b)\) son abiertos.

Demostración:

El intervalo \(A\) puede expresarse como unión de abiertos:

$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} [a, a+n) $$

El intervalo \( B = (-\infty , a) \) también es unión de abiertos:

$$ (-\infty , a) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a-n, a) $$

El intervalo \(C\) también:

$$ C = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a+1/n, a+n) $$

Y el intervalo \(D\) también:

$$ (a,b) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left[a+\frac{|b-a|}{2n},b\right) $$


Ejemplo 2

Los intervalos con la forma \(A = [a,b)\) son abiertos y cerrados.

Demostración:

Que sea abierto es directo. Veamos que es cerrado:

El complementario de \(A\) es

$$ \mathbb{R}- A = (-\infty , a) \cup [b, +\infty ) $$

Los intervalos \( (-\infty , a) \) y \( [b, +\infty ) \) son abiertos (ejemplo 1). Por tanto, \(\mathbb{R}-A\) es abierto por ser unión de abiertos, lo que implica que \( A\) es cerrado.


Ejemplo 3

Los intervalos con la forma \(B = (-\infty ,a)\) son abiertos y cerrados.

Demostración:

En el ejemplo 1 vimos que \(B\) es abierto.

Es cerrado porque su complementario \([a, +\infty )\) es abierto por ser unión de abiertos:

$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a, a+n) $$


Ejemplo 4

Los intervalos con la forma \(A =[a, +\infty )\) son abiertos y cerrados.

Demostración:

En el ejemplo 1 vimos que \(A\) es abierto.

Es cerrado porque su complementario \((-\infty, a)\) es abierto (visto en el ejemplo 1).


Ejemplo 5

Los puntos son cerrados, pero no son abiertos.

Demostración:

Sea \(x\in\mathbb{R}\). Obviamente, \(\{x\}\) no es abierto puesto que no existe ningún elemento de la base contenido en \(\{x\}\).

Es cerrado porque su complementario es unión de abiertos:

$$ \mathbb{R}-\{x\} = (-\infty, x)\cup (x,+\infty )$$


3. Propiedades

Propiedad 1

La topología de Sorgenfrey es más fina que la usual, es decir, los abiertos de la topología usual son abiertos de la topología de Sorgenfrey.

Demostración:

Los abiertos en la topología usual son intervalos abiertos, sus intersecciones y sus uniones. Por tanto, son abiertos en la topología de Sorgenfrey.


Propiedad 2

Es un espacio de Hausdorff y, por tanto, de Kolmogórov y de Fréchet. Como consecuencia (de ser Hausdorff), los conjuntos compactos son cerrados.

Demostración:

Dados dos puntos distintos \(a\) y \(b\) (suponemos \(a< b\)), los intervalos \(A = [a, a+\varepsilon )\) y \(B = [b, b+\varepsilon )\) con \( \varepsilon < |b-a|\) son abiertos disjuntos que contienen a \(a\) y a \(b\), respectivamente.


Propiedad 3

Es un espacio separable.

Demostración:

El subconjunto de los racionales, \(\mathbb{Q}\), es numerable. Además, es denso: su clausura es \(\mathbb{R}\) puesto que todo entorno de un número real intersecta con \(\mathbb{Q}\).


Propiedad 4

Es un espacio 1AN, pero no es 2AN.

Demostración:

Consultar axiomas de numerabilidad.


Propiedad 5

No es metrizable.

Demostración:

Los espacios métricos separables son 2AN, así que no puede ser metrizable.






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