Topología de Sorgenfrey
En esta página definimos la recta de Sorgenfrey, proporcionamos ejemplos de abiertos y cerrados de la misma y demostramos algunas propiedades.
Índice:
-
Definición
-
Ejemplos
de abiertos y cerrados
- Algunas propiedades
1. Definición
Sobre la recta real \(\mathbb{R}\) se define la topología de Sorgenfrey o del límite inferior a la generada por la siguiente base de abiertos:
$$ \mathcal{B} := \{ [a,b): a,b\in\mathbb{R},\ a< b\} $$
A este espacio topológico se le domina recta de Sorgenfrey, \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\), y al espacio producto \(\mathbb{R}_\mathcal{l}\times \mathbb{R}_\mathcal{l}\) se le denomina plano de Sorgenfrey.
Nota: recordad que una base de abiertos \(\mathcal{B}\) es una colección de abiertos de la topología cumpliendo que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de \(\mathcal{B}\).
2. Ejemplos de abiertos y cerrados
Ejemplo 1
Los intervalos con la forma \(A = [a,+\infty )\), \(B = (-\infty , a) \), \(C = (a, +\infty)\) y \(D = (a,b)\) son abiertos.
Demostración
El intervalo \(A\) puede expresarse como unión de abiertos:
$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} [a, a+n) $$
El intervalo \( B = (-\infty , a) \) también es unión de abiertos:
$$ (-\infty , a) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a-n, a) $$
El intervalo \(C\) también:
$$ C = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a+1/n, a+n) $$
Y el intervalo \(D\) también:
$$ (a,b) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a+\frac{|b-a|}{2n},b) $$
Ejemplo 2
Los intervalos con la forma \(A = [a,b)\) son abiertos y cerrados.
Demostración
Que sea abierto es directo. Veamos que es cerrado:
El complementario de \(A\) es
$$ \mathbb{R}- A = (-\infty , a) \cup [b, +\infty ) $$
Los intervalos \( (-\infty , a) \) y \( [b, +\infty ) \) son abiertos (ejemplo 1). Por tanto, \(\mathbb{R}-A\) es abierto por ser unión de abiertos, lo que implica que \( A\) es cerrado.
Ejemplo 3
Los intervalos con la forma \(B = (-\infty ,a)\) son abiertos y cerrados.
Demostración
En el ejemplo 1 vimos que \(B\) es abierto.
Es cerrado porque su complementario \([a, +\infty )\) es abierto por ser unión de abiertos:
$$ [a, +\infty ) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} [a, a+n) $$
Ejemplo 4
Los intervalos con la forma \(A =[a, +\infty )\) son abiertos y cerrados.
Demostración
En el ejemplo 1 vimos que \(A\) es abierto.
Es cerrado porque su complementario \((-\infty, a)\) es abierto (visto en el ejemplo 1).
Ejemplo 5
Los puntos son cerrados, pero no son abiertos.
Demostración
Sea \(x\in\mathbb{R}\). Obviamente, \(\{x\}\) no es abierto puesto que no existe ningún elemento de la base contenido en \(\{x\}\).
Es cerrado porque su complementario es unión de abiertos:
$$ \mathbb{R}-\{x\} = (-\infty, x)\cup (x,+\infty )$$
3. Propiedades
Propiedad 1
La topología de Sorgenfrey es más fina que la usual, es decir, los abiertos de la topología usual son abiertos de la topología de Sorgenfrey.
Demostración
Los abiertos en la topología usual son intervalos abiertos, sus intersecciones y sus uniones. Por tanto, son abiertos en la topología de Sorgenfrey.
Propiedad 2
Es un espacio de Hausdorff y, por tanto, de Kolmogórov y de Fréchet. Como consecuencia (de ser Hausdorff), los conjuntos compactos son cerrados.
Demostración
Dados dos puntos distintos \(a\) y \(b\) (suponemos \(a< b\)), los intervalos \(A = [a, a+\varepsilon )\) y \(B = [b, b+\varepsilon )\) con \( \varepsilon < |b-a|\) son abiertos disjuntos que contienen a \(a\) y a \(b\), respectivamente.
Propiedad 3
Es un espacio separable.
Demostración
El subconjunto de los racionales, \(\mathbb{Q}\), es numerable. Además, es denso: su clausura es \(\mathbb{R}\) puesto que todo entorno de un número real intersecta con \(\mathbb{Q}\).
Propiedad 4
Es un espacio 1AN, pero no es 2AN.
Demostración
Propiedad 5
No es metrizable.
Demostración
Los espacios métricos separables son 2AN, así que no puede ser metrizable.