Reglas de derivación y regla de la cadena
Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación.
Índice:
- Introducción
- Reglas de derivación
- Regla de la cadena
1. Introducción
La función derivada de \(f\) es un límite:
Calcular la derivada de una función a partir del límite requiere un trabajo y tiempo innecesarios.
Las reglas de derivación y la regla de la cadena permiten calcular derivadas sin necesidad de utilizar límites.
En adelante, para abreviar las reglas, escribiremos las funciones \(f(x)\) y sus derivadas \(f'(x)\) como \(f\) y \(f'\), respectivamente.
Asumimos que conocemos las derivadas elementales (las de la tabla).
2. Reglas de derivación
Las reglas de derivación son las derivadas de la suma, resta, producto y cociente de funciones:
Además, si \(K\) es una constante, entonces
Ejemplo 1
Aplicamos la regla de la suma:
Ejemplo 2
Aplicamos la regla del producto:
Ejemplo 3
Aplicamos la regla del cociente:
3. Regla de la cadena
La regla de la cadena sirve para derivar la composición de funciones.
La derivada de la composición es
Es decir,
Ejemplo 1
Sea la función
Es composición de las siguientes funciones:
ya que
O, equivalentemente, \(f=p(q)\).
Las derivadas son
Por tanto, por la regla de la cadena,
Ejemplo 2
Aplicando la regla de la cadena, la derivada es la derivada del cuadrado por la derivada del paréntesis:
Ejemplo 3
Tenemos que aplicar la regla del cociente y de la cadena (para el cuadrado):
Simplificamos:
Ejemplo 4
Si es necesario, se puede escribir la raíz como una potencia con exponente \(1/2\).
Aplicando la regla de la cadena,
Ejemplo 5
Aplicando la regla de la cadena,
Más ejemplos en cálculo de derivadas.