La suma se calcula sumando coordenada a coordenada. La resta, restando las coordenas.

1. \(\vec{v}+\vec{w}\)

   

   Representación:

   

2. \(\vec{v}+\vec{v}\)

   

   Representación:

   

   Observad que el resultado es el mismo que el de \(2·\vec{v}\).

3. \(\vec{w}-\vec{w}\)

   

4. \(\vec{w}-\vec{v}\)

   

   Representación:

   

   El vector que se obtiene es el que va de \(\vec{v}\) a \(\vec{w}\).

El vector que va del punto \(A\) al punto \(B\) es el vector cuyas coordenadas son la resta de las coordenadas de \(B\) menos las de \(A\).

El vector que va del punto \(A = (2,4)\) al punto \(B=(0,4)\) es

El vector que va del punto \(C = (-2,4)\) al punto \(D=(0,-4)\) es

Representación:

1. \(3·\vec{v}\)

   

2. \(-2·\vec{w}\)

   

3. \(0·\vec{v}\)

   

Calculamos la suma de los dos vectores:

Por tanto, el lado de la izquierda es

Calculamos los productos y la suma del lado derecho:

Los dos resultados coinciden.

1. Módulo de \(\vec{v}\):

   

2. Módulo de \(\vec{w}\):

   

3. Módulo de \(\vec{r}\):

   

4. Módulo de \(\vec{s}\):

   

1. Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

   

2. Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

   

Los dos vectores tienen el mismo módulo (miden lo mismo), pero son vectores distintos. De hecho, uno de ellos es el vector simétrico del otro respecto del eje vertical OY.

Representación:

El producto se calcula multiplicando las coordenadas y sumando:

1. \(\vec{v}=(1,2)\) y \(\vec{w}=(0,2)\)

   

2. \(\vec{v}=(3,-2)\) y \(\vec{w}=(-2,3)\)

   

3. \(\vec{v}=(1/2,9)\) y \(\vec{w}=(4,1/3)\)

   

El vector unitario de un vector se calcula dividiendo el vector entre su módulo.

1. Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

   

   Su vector unitario es:

   

2. Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

   

   Su vector unitario es:

   

Primero calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Si dividimos las coordenadas de \(\vec{v}\) entre su módulo, obtenemos un vector igual que \(\vec{v}\), pero con módulo unitario (módulo igual a 1):

Por la propiedad, si multiplicamos el vector por \(2/5\), el nuevo vector tiene módulo \(2/5\):

Recordad la segunda fórmula del producto escalar:

Como el coseno de \(90^\circ\) es \(0\), los vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es \(0\):

Así que sólo tenemos que ver si el producto escalar de los vectores es \(0\).

1. Producto escalar de \(\vec{v}=(-1,3)\) y \(\vec{w}=(3,1)\):

   

   Los dos vectores son perpendiculares.

   Representación:

   

2. Producto escalar de \(\vec{v}=(2/3,-7/2)\) y \(\vec{w}=(-21,-4)\):

   

   Los dos vectores son perpendiculares.

3. Producto escalar de \( \vec{v}=(1,1)\) y \(\vec{w}=(2,-1)\):

   

   Los dos vectores no son perpendiculares.

   Representación:

   

4. Producto escalar de \( \vec{v}=(5,1)\) y \(\vec{w}=(0.5,-2.5)\):

   

   Los dos vectores son perpendiculares.

Como en el problema anterior, comprobamos si el producto escalar de los vectores es 0.

Primer par:

Segundo par:

Observad que para calcular estos dos vectores perpendiculares a \(\vec{v}\) se ha cambiado el orden de las coordenadas y el signo de una de ellas.

Usamos la fórmula obtenida a partir del producto escalar:

1. Ángulo entre \(\vec{v}=(2,1)\) y \(\vec{w}=(1,3)\)

   Calculamos los módulos de los vectores:

   

   Calculamos el producto escalar:

   

   Aplicamos la fórmula:

   

   El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(\sqrt{2}/2\). Por tanto, \(\alpha = 45^\circ\).

   Representación:

   

2. Ángulo entre \(\vec{v}=(0,-6)\) y \(\vec{w}=(3,- \sqrt{3})\)

   Calculamos los módulos de los vectores:

   

   Calculamos el producto escalar:

   

   Aplicamos la fórmula:

   

   El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(1/2\). Por tanto, \(\alpha = 60^\circ\).

   Representación:

   

3. Ángulo entre \(\vec{v}=(0,- \sqrt{3} )\) y \(\vec{w}=( \sqrt{3}/2, -3/2)\)

   Calculamos los módulos de los vectores:

   

   Calculamos el producto escalar:

   

   Aplicamos la fórmula:

   

   El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(\sqrt{3}/2\). Por tanto, \(\alpha = 30^\circ\).

   Representación:

   

Procedemos como en el problema anterior.

Calculamos los módulos de los vectores:

Calculamos el producto escalar:

Aplicamos la fórmula:

Aplicamos el arcocoseno para calcular el ángulo:

Representación: