Vectores 2D (vectores de \(\mathbb{R}^2\))

En esta página resolvemos problemas de vectores bidimensionales del plano, es decir, vectores de \(\mathbb{R}^2\), mientras recordamos los conceptos básicos y las operaciones.

Índice de contenidos:

En la siguiente página podéis encontrar más problemas y calculadoras de vectores 2D: Vectores del plano real.


Escalar y vector

Un escalar \(\alpha\) es cualquier número real. Es decir, \(\alpha \in\mathbb{R}\).

Un vector \(\vec{v}\) de \(\mathbb{R}^2\) es \(\vec{v}=(x,y)\), siendo \(x\) e \(y\) números reales, llamados primera y segunda coordenada, respectivamente, del vector.


Suma y resta de vectores

La suma y la resta de los vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) son los siguientes vectores:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Problema 1

Calcular las siguientes sumas y restas de vectores:

  1. \(\vec{v}+\vec{w}\)

  2. \(\vec{v}+\vec{v}\)

  3. \(\vec{w}-\vec{w}\)

  4. \(\vec{w}-\vec{v}\)

siendo \(\vec{v} = (1,-2)\) y \(\vec{w} = (-5,0)\).

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Problema 1b

Calcular y representar el vector que va del punto \(A = (2,4)\) al punto \(B=(0,4)\) y el vector que va del punto  \(C = (-2,4)\) al punto \(D=(0,-4)\).

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Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar \(\alpha\) por un vector \(\vec{v}=(x,y)\) tiene como resultado el vector

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Problema 2

Calcular los siguientes productos de escalares por vectores:

  1. \(3·\vec{v}\)

  2. \(-2·\vec{w}\)

  3. \(0·\vec{v}\)

siendo \(\vec{v} = (5,-2)\) y \(\vec{w} = (3,1/2)\).

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Problema 3

Comprobad que el producto de un escalar por un vector es distributivo respecto de la suma (y resta) de vectores. Es decir, si \(\alpha\) es un escalar y \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) son vectores, entonces

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Módulo de un vector

El módulo de un vector \(\vec{v}=(x,y)\) es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

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El módulo de un vector es su longitud (lo podéis comprobar aplicando el Teorema de Pitágoras).

Dado un escalar \(\alpha\), se cumple

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Problema 4

Calcular el módulo de los siguientes vectores:

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Problema 5

Representar los dos siguientes vectores y calcular sus módulos:

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Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) es el escalar

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Si el ángulo que forman los dos vectores es \(\alpha\), también podemos calcular el producto escalar a partir de sus módulos y del ángulo:

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Problema 6

Calcular el producto escalar de los siguientes pares de vectores:

  1. \(\vec{v}=(1,2)\) y \(\vec{w}=(0,2)\)

  2. \(\vec{v}=(3,-2)\) y \(\vec{w}=(-2,3)\)

  3. \(\vec{v}=(1/2,9)\) y \(\vec{w}=(4,1/3)\)

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Vector unitario

El vector unitario de un vector \(\vec{v}\neq 0\) es

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Este vector tiene la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\), pero módulo 1.


Problema 7

Calcular el vector unitario de los vectores \(\vec{v} = (1,-3)\) y \(\vec{w} = (1/2,2)\).

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Problema 8

Calcular el vector \(\vec{w}\) que tiene el mismo sentido y la misma dirección que \(\vec{v} = (4,3)\), pero cuyo módulo sea igual a 2/5.

Ayuda: utilizar la propiedad del módulo de un escalar \(\alpha\) por un vector \(\vec{v}\):

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Ángulo entre vectores

Teniendo en cuenta las dos fórmulas del producto escalar de los vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\), tenemos el coseno del ángulo:

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Podemos calcular el ángulo \(\alpha\) que forman los vectores con el arcocoseno.


Problema 9

Indicar si los siguientes pares de vectores son perpendiculares (el ángulo que forman entre ellos es de 90 grados):

  1. \(\vec{v}=(-1,3)\) y \(\vec{w}=(3,1)\)

  2. \(\vec{v}=(2/3,-7/2)\) y \(\vec{w}=(-21,-4)\)

  3. \( \vec{v}=(1,1)\) y \(\vec{w}=(2,-1)\)

  4. \( \vec{v}=(5,1)\) y \(\vec{w}=(0.5,-2.5)\)

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Problema 10

Comprobar que \(\vec{v_1}=(-y,x)\) y \(\vec{v_2}=(y,-x)\) son vectores perpendiculares al vector \(\vec{v}=(x,y)\).

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Problema 11

Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:

  1. \(\vec{v}=(2,1)\) y \(\vec{w}=(1,3)\)

  2. \(\vec{v}=(0,-6)\) y \(\vec{w}=(3,- \sqrt{3})\)

  3. \(\vec{v}=(0,- \sqrt{3} )\) y \(\vec{w}=( \sqrt{3}/2, -3/2)\)

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Problema 12

Aproximar el ángulo que forman los vectores \(\vec{v}=(1,-1)\) y \(\vec{w}=(-2, 3)\) entre sí.

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Más problemas resueltos de vectores 2D:



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