Vectores 2D (vectores de \(\mathbb{R}^2\))

En esta página resolvemos problemas de vectores bidimensionales del plano, es decir, vectores de \(\mathbb{R}^2\), mientras recordamos los conceptos básicos y las operaciones.

Índice de contenidos:

En la siguiente página podéis encontrar más problemas y calculadoras de vectores 2D: Vectores del plano real.

Escalar y vector

Un escalar \(\alpha\) es cualquier número real. Es decir, \(\alpha \in\mathbb{R}\).

Un vector \(\vec{v}\) de \(\mathbb{R}^2\) es \(\vec{v}=(x,y)\), siendo \(x\) e \(y\) números reales, llamados primera y segunda coordenada, respectivamente, del vector.


Suma y resta de vectores

La suma y la resta de los vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) son los siguientes vectores:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.



Problema 1

Calcular las siguientes sumas y restas de vectores:

  1. \(\vec{v}+\vec{w}\)

  2. \(\vec{v}+\vec{v}\)

  3. \(\vec{w}-\vec{w}\)

  4. \(\vec{w}-\vec{v}\)

siendo \(\vec{v} = (1,-2)\) y \(\vec{w} = (-5,0)\).

Solución:

La suma se calcula sumando coordenada a coordenada. La resta, restando las coordenas.

  1. \(\vec{v}+\vec{w}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. \(\vec{v}+\vec{v}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Observad que el resultado es el mismo que el de \(2·\vec{v}\).

  3. \(\vec{w}-\vec{w}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  4. \(\vec{w}-\vec{v}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    El vector que se obtiene es el que va de \(\vec{v}\) a \(\vec{w}\).


Problema 1b

Calcular y representar el vector que va del punto \(A = (2,4)\) al punto \(B=(0,4)\) y el vector que va del punto  \(C = (-2,4)\) al punto \(D=(0,-4)\).

Solución:

El vector que va del punto \(A\) al punto \(B\) es el vector cuyas coordenadas son la resta de las coordenadas de \(B\) menos las de \(A\).

El vector que va del punto \(A = (2,4)\) al punto \(B=(0,4)\) es

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

El vector que va del punto \(C = (-2,4)\) al punto \(D=(0,-4)\) es

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Representación:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar \(\alpha\) por un vector \(\vec{v}=(x,y)\) tiene como resultado el vector

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.



Problema 2

Calcular los siguientes productos de escalares por vectores:

  1. \(3·\vec{v}\)

  2. \(-2·\vec{w}\)

  3. \(0·\vec{v}\)

siendo \(\vec{v} = (5,-2)\) y \(\vec{w} = (3,1/2)\).

Solución:

  1. \(3·\vec{v}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. \(-2·\vec{w}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  3. \(0·\vec{v}\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Problema 3

Comprobad que el producto de un escalar por un vector es distributivo respecto de la suma (y resta) de vectores. Es decir, si \(\alpha\) es un escalar y \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) son vectores, entonces

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Solución:

Calculamos la suma de los dos vectores:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Por tanto, el lado de la izquierda es

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Calculamos los productos y la suma del lado derecho:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Los dos resultados coinciden.


Módulo de un vector

El módulo de un vector \(\vec{v}=(x,y)\) es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

El módulo de un vector es su longitud (lo podéis comprobar aplicando el Teorema de Pitágoras).

Dado un escalar \(\alpha\), se cumple

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.



Problema 4

Calcular el módulo de los siguientes vectores:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Solución:

  1. Módulo de \(\vec{v}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. Módulo de \(\vec{w}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  3. Módulo de \(\vec{r}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  4. Módulo de \(\vec{s}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Problema 5

Representar los dos siguientes vectores y calcular sus módulos:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Solución:

  1. Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Los dos vectores tienen el mismo módulo (miden lo mismo), pero son vectores distintos. De hecho, uno de ellos es el vector simétrico del otro respecto del eje vertical OY.

Representación:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\) es el escalar

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Si el ángulo que forman los dos vectores es \(\alpha\), también podemos calcular el producto escalar a partir de sus módulos y del ángulo:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.



Problema 6

Calcular el producto escalar de los siguientes pares de vectores:

  1. \(\vec{v}=(1,2)\) y \(\vec{w}=(0,2)\)

  2. \(\vec{v}=(3,-2)\) y \(\vec{w}=(-2,3)\)

  3. \(\vec{v}=(1/2,9)\) y \(\vec{w}=(4,1/3)\)

Solución:

El producto se calcula multiplicando las coordenadas y sumando:

  1. \(\vec{v}=(1,2)\) y \(\vec{w}=(0,2)\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. \(\vec{v}=(3,-2)\) y \(\vec{w}=(-2,3)\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  3. \(\vec{v}=(1/2,9)\) y \(\vec{w}=(4,1/3)\)

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Vector unitario

El vector unitario de un vector \(\vec{v}\neq 0\) es

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Este vector tiene la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\), pero módulo 1.


Problema 7

Calcular el vector unitario de los vectores \(\vec{v} = (1,-3)\) y \(\vec{w} = (1/2,2)\).

Solución:

El vector unitario de un vector se calcula dividiendo el vector entre su módulo.

  1. Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Su vector unitario es:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Su vector unitario es:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Problema 8

Calcular el vector \(\vec{w}\) que tiene el mismo sentido y la misma dirección que \(\vec{v} = (4,3)\), pero cuyo módulo sea igual a 2/5.

Ayuda: utilizar la propiedad del módulo de un escalar \(\alpha\) por un vector \(\vec{v}\):

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Solución:

Primero calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Si dividimos las coordenadas de \(\vec{v}\) entre su módulo, obtenemos un vector igual que \(\vec{v}\), pero con módulo unitario (módulo igual a 1):

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Por la propiedad, si multiplicamos el vector por \(2/5\), el nuevo vector tiene módulo \(2/5\):

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Ángulo entre vectores

Teniendo en cuenta las dos fórmulas del producto escalar de los vectores \(\vec{v}=(x,y)\) y \(\vec{w}=(a,b)\), tenemos el coseno del ángulo:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Podemos calcular el ángulo \(\alpha\) que forman los vectores con el arcocoseno.



Problema 9

Indicar si los siguientes pares de vectores son perpendiculares (el ángulo que forman entre ellos es de 90 grados):

  1. \(\vec{v}=(-1,3)\) y \(\vec{w}=(3,1)\)

  2. \(\vec{v}=(2/3,-7/2)\) y \(\vec{w}=(-21,-4)\)

  3. \( \vec{v}=(1,1)\) y \(\vec{w}=(2,-1)\)

  4. \( \vec{v}=(5,1)\) y \(\vec{w}=(0.5,-2.5)\)

Solución:

Recordad la segunda fórmula del producto escalar:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Como el coseno de \(90^\circ\) es \(0\), los vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es \(0\):

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Así que sólo tenemos que ver si el producto escalar de los vectores es \(0\).

  1. Producto escalar de \(\vec{v}=(-1,3)\) y \(\vec{w}=(3,1)\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Los dos vectores son perpendiculares.

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. Producto escalar de \(\vec{v}=(2/3,-7/2)\) y \(\vec{w}=(-21,-4)\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Los dos vectores son perpendiculares.

  3. Producto escalar de \( \vec{v}=(1,1)\) y \(\vec{w}=(2,-1)\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Los dos vectores no son perpendiculares.

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  4. Producto escalar de \( \vec{v}=(5,1)\) y \(\vec{w}=(0.5,-2.5)\):

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Los dos vectores son perpendiculares.


Problema 10

Comprobar que \(\vec{v_1}=(-y,x)\) y \(\vec{v_2}=(y,-x)\) son vectores perpendiculares al vector \(\vec{v}=(x,y)\).

Solución:

Como en el problema anterior, comprobamos si el producto escalar de los vectores es 0.

Primer par:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Segundo par:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Observad que para calcular estos dos vectores perpendiculares a \(\vec{v}\) se ha cambiado el orden de las coordenadas y el signo de una de ellas.


Problema 11

Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:

  1. \(\vec{v}=(2,1)\) y \(\vec{w}=(1,3)\)

  2. \(\vec{v}=(0,-6)\) y \(\vec{w}=(3,- \sqrt{3})\)

  3. \(\vec{v}=(0,- \sqrt{3} )\) y \(\vec{w}=( \sqrt{3}/2, -3/2)\)

Solución:

Usamos la fórmula obtenida a partir del producto escalar:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  1. Ángulo entre \(\vec{v}=(2,1)\) y \(\vec{w}=(1,3)\)

    Calculamos los módulos de los vectores:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Calculamos el producto escalar:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Aplicamos la fórmula:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(\sqrt{2}/2\). Por tanto, \(\alpha = 45^\circ\).

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  2. Ángulo entre \(\vec{v}=(0,-6)\) y \(\vec{w}=(3,- \sqrt{3})\)

    Calculamos los módulos de los vectores:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Calculamos el producto escalar:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Aplicamos la fórmula:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(1/2\). Por tanto, \(\alpha = 60^\circ\).

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

  3. Ángulo entre \(\vec{v}=(0,- \sqrt{3} )\) y \(\vec{w}=( \sqrt{3}/2, -3/2)\)

    Calculamos los módulos de los vectores:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Calculamos el producto escalar:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    Aplicamos la fórmula:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

    El coseno del ángulo \(\alpha\) que forman los vectores es \(\sqrt{3}/2\). Por tanto, \(\alpha = 30^\circ\).

    Representación:

    Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.



Problema 12

Aproximar el ángulo que forman los vectores \(\vec{v}=(1,-1)\) y \(\vec{w}=(-2, 3)\) entre sí.

Solución:

Procedemos como en el problema anterior.

Calculamos los módulos de los vectores:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Calculamos el producto escalar:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Aplicamos la fórmula:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Aplicamos el arcocoseno para calcular el ángulo:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.

Representación:

Resolvemos problemas de vectores del plano: producto por un escalar, producto escalar de vectores, modulo de un vector, angulo entre dos vectores. Ejemplo. Geometria plana. Secundaria. Bachillerato. Matematicas.


Más problemas resueltos de vectores 2D:



Problemas y Ecuaciones ©