Problemas de trigonometría básica:

Seno, coseno y tangente

En esta página definimos las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo como la razón entre los lados de un triángulo rectángulo. También, resolvemos 10 problemas de aplicación.


Introducción

Consideremos un triángulo rectángulo (con un ángulo recto) y un ángulo \(\alpha\):

Problemas resueltos de trigonometría básica: seno, coseno y tangente. Definimos las razones trigonométricas como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. También usaremos las funciones inversas. Secundaria. Bachillerato. Geometría plana. Trigonometría. Matemáticas.

El lado opuesto al ángulo recto (el de 90º) se denomina hipotenusa y los otros dos lados son los catetos:

Las razones trigonométricas se definen como la razón entre los lados del triángulo:

Seno

El seno de \(\alpha\) es el cateto opuesto entre la hipotenusa:

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Coseno

El coseno de \(\alpha\) es el cateto contiguo o adyacente entre la hipotenusa:

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Tangente

La tangente de \(\alpha\) es seno entre el coseno, es decir, el cateto opuesto entre el contiguo:

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Otra forma de escribir la tangente de \(\alpha\) es \(tg(\alpha)\).

Nota: tened en cuenta que, si cambiamos de ángulo, entonces cambian los catetos: el opuesto pasa a ser el contiguo y viceversa.

Una regla mnemotécnica que puede ayudaros a recordar las fórmulas:

Finalmente, veamos por encima qué son las razones trigonométricas inversas:

Razones inversas

Si conocemos el seno, el coseno o la tangente del ángulo \(\alpha\) y queremos calcular el ángulo \(\alpha\), usamos las razones trigonométricas inversas:

  • La inversa del seno es el arcoseno, escrita como \(arcsin\):

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    En la calculadora es la tecla \(sin^{-1}\).

  • La inversa del coseno es el arcocoseno, escrita como \(arccos\):

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    En la calculadora es la tecla \(cos^{-1}\).

  • La inversa de la tangente es la arcotangente, escrita como \(arctan\):

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    En la calculadora es la tecla \(tan^{-1}\).

Problemas resueltos de trigonometría


Problema 1

Determinar si los lados \(a\), \(b\) y \(c\) de cada uno de los siguientes triángulos rectángulos son la hipotenusa, el lado opuesto o el lado contiguo al ángulo \(\alpha\) representado:

Triángulo 1:

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Triángulo 2:

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Triángulo 3:

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Solución

Problema 2

(Con calculadora) Calcular los ángulos \(\alpha\) sabiendo cuánto valen su seno o su coseno:

a) \(sin(\alpha ) = 0.999390827\)

b) \(sin(\alpha ) = 0.6691306064\)

c) \(sin(\alpha ) = 0.7660444431\)

d) \(sin(\alpha ) = 0.9743700648\)

e) \(cos(\alpha ) = 0.8090169944\)

f) \(cos(\alpha ) = 0.2588190451\)

g) \(cos(\alpha ) = 0.9271838546\)

h) \(cos(\alpha ) = 0.4067366431\)

Solución



Problema 3

Simplificar las siguientes expresiones:

  • \( sin(x) - 2(sin(x)-3sin(2x))\)

  • \(2·(cos(x)-cos(2x))-(2cos(x)-cos(2x))\)

  • \(2sin(x)-\frac{ 4sin(x)-cos(x)}{2}\)

Solución

Problema 4

Calcular el valor de \(x\) de cada figura utilizando las razones trigonométricas viastas:

Figura 1:

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Figura 2:

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Figura 3:

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Figura 4:

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Solución

Problema 5

Calcular el ángulo \(\alpha\) de cada uno de los siguientes triángulos:

Triángulo 1:

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Triángulo 2:

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Triángulo 3:

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Solución

Problema 6

Calcular la base (lado \(x\)) del siguiente triángulo escaleno:

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Solución

Problema 7

Desde un supermercado se observa el ático de un rascacielos de 527 metros de altura bajo un ángulo de 42°. Calcular la distancia que hay desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos.

Solución

Problema 8

Calcular el perímetro del siguiente polígono:

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donde

  • \( \alpha = 58^\circ \)

  • \( B = C\)

  • \( A = 24.6m\)

Solución

Problema 9

Ramiro está volando su cometa y le gustaría saber qué altura alcanza. La sombra de la sombra de la cometa comienza a sus pies y termina a 6.7 metros y el ángulo que forma el cable con el suelo es de 39°. ¿A qué altura se encuentra la cometa?

Solución

Problema 10

Calcular la base (lado \(x\)) de la siguiente figura construida con dos triángulos rectángulos:

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Solución


Más información y problemas resueltos de trigonometría y geometría:



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