Puntos indistinguibles

En esta página definimos el concepto de puntos topológicamente indistinguibles y proporcionamos algunos ejemplos.

Índice:

  1. Definición
  2. Ejemplos

1. Definición

En un espacio topológico \((X,\mathcal{T})\), dos puntos \(x\) e \(y\) de \(X\) son topológicamente indistinguibles si tienen exactamente los mismos entornos. Si no es así, los puntos son topológicamente distinguibles.

Definición equivalente:

Como todo entorno de un punto \(x\) contiene un abierto al que \(x\) pertenece, es fácil demostrar que dos puntos \(x\) e \(y\) son topológicamente indistinguibles si pertenecen a los mismos abiertos, es decir, si

$$ \forall A\in\mathcal{T}, x,y\in A \lor x,y\notin A $$

En adelante, diremos puntos "(in)distinguibles" en lugar de "topológicamente (in)distinguibles".

2. Ejemplos

Ejemplo 1

La topología trivial sobre un conjunto\(X\) es

$$ \mathcal{T_t} = \{\emptyset, X\} $$

Todo par de puntos distintos \(x\) e \(y\) de \(X\) son indistinguibles porque ambos pertenecen al único abierto no vacío, \(X\).


Ejemplo 2

La topología discreta sobre un conjunto \(X\) es

$$ \mathcal{T_d} = \mathcal{P(X)}$$

Todo par de puntos distintos \(x\) e \(y\) de \(X\) son distinguibles porque los conjuntos \(\{x\}\) e \(\{y\}\) son abiertos y disjuntos.


Ejemplo 3

En un espacio de Hausdorff ó \(T_2\), todo par de puntos distintos son distinguibles.

Por ejemplo, como el plano real con la topología usual es de Hausdorff, dos puntos distintos son distinguibles: dados dos puntos distintos \(x\) e \(y\), las bolas abiertas centradas en \(x\) e \(y\) con radios \(\varepsilon = d(x,y)/2\) son abiertos disjuntos.


Ejemplo 4

Recordad que un espacio es de Kolmogórov o \(T_0\) si para cada par de puntos distintos existe un entorno de uno de ellos al que el otro punto no pertenece. Por tanto, estos dos puntos tienen algunos entornos no comunes, con lo que son distinguibles.

Como \(T_{n+1} \rightarrow T_n\) siendo \(1\leq n\leq 4\), los puntos distintos en un espacio \(T_n\) son distinguibles.


Ejemplo 5

Sea el conjunto finito \(X = \{ x_1, x_2, x_3 \}\). Consideremos las siguientes topologías sobre \(X\):

\( \mathcal{T_1} = \{\emptyset , \{x_3\}, \{ x_1, x_2, x_3 \}\} \)

\( \mathcal{T_2} = \{\emptyset , \{x_1 ,x_2\}, \{ x_1, x_2, x_3 \}\} \)

\( \mathcal{T_3} = \{\emptyset , \{x_3\},\{x_1 , x_2\}, \{ x_1, x_2, x_3 \}\} \)

En estas tres topologías, los puntos \(x_1\) y \(x_2\) son indistinguibles y el punto \(x_3\) es distinguible de \(x_1\) y \(x_2\).






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