Calcular porcentajes
Problemas resueltos
En esta página explicamos cómo calcular porcentajes y resolvemos 15 problemas de aplicación.
Índice:
- Recordatorio
- Calcular porcentajes (regla de tres)
- 15 problemas resueltos
Enlace: Calculadora online de porcentajes.
1. Recordatorio
Un porcentaje es una forma de indicar una proporción tomando como referencia al número 100. Concretamente, el \(n\%\) es equivalente a la proporción \(n/100\), es decir, significa "\(n\) de cada 100".
Ejemplo
"La mitad de la población mundial son hombres" es lo mismo que decir que "50 de cada 100 personas son hombres", o bien, que "el 50% de la población son hombres".
Observad que, como se trata de una proporción, no importa el total. En el ejemplo, no hemos indicado el número total de la población, sino la proporción.
2. Calcular porcentajes (regla de tres)
Los porcentajes son relaciones de proporcionalidad directa. Siguiendo con el ejemplo anterior, esto quiere decir que, si la proporción de hombres aumenta, entonces el porcentaje también lo hace y, si decrece, el porcentaje también decrece. Por tanto, para trabajar con porcentajes tenemos que utilizar reglas de tres directas.
Para aplicar una regla de tres (directa), escribimos una tabla con dos columnas: una para las cantidades y otra para los porcentajes. El 100% debe identificarse con el total de la población:
Ejemplo 1
En un pueblo de 5000 habitantes, 3750 de ellos son hombres. Calculamos el porcentaje de hombres de dicho pueblo:
El 75% de los habitantes del pueblo son hombres.
¡Observad que hemos multiplicado en cruz!
Ejemplo 2
En otro pueblo de 7000 habitantes, el 75% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay?
Hay 5250 mujeres.
¡Observad que el tanto por ciento coincide en ambos pueblos, pero las cantidades son distintas porque el número total de habitantes es distinto!
3. Problemas resueltos
Problema 1
En una clase hay un total de 40 alumnos. Expresar las siguientes cantidades en porcentajes respecto del total de alumnos:
- a 36 alumnos les gusta ir al cine,
- a 24 alumnos les gusta hacer deporte,
- a 6 alumnos les gusta ir al colegio,
Solución:
Como el total de alumnos es 40, en cada uno de los apartados identificamos 40 con el 100%.
Ir al cine:
Hacer deporte:
Ir al colegio:
Por tanto,
- Al 90% de los alumnos les gusta ir al cine.
- Al 60% de los alumnos les gusta hacer deporte.
- Al 15% de los alumnos les gusta ir al colegio.
Problema 2
El 80% de los libros de Carlos son novelas policíacas y el 10% son históricas. Si Carlos tiene 20 libros, ¿cuántos son novelas policíacas y cuántos son novelas históricas?
Solución:
El total de libros (el 100%) es 20. Tenemos que calcular el 80% y el 10% de 20.
Novelas policíacas:
Novelas históricas:
Carlos tiene 16 novelas policíacas y 2 novelas históricas.
Problema 3
Álvaro marcó 3 goles, que son el 25% de su total de tiros a puerta. ¿Cuántos tiros a puerta realizó? ¿Qué porcentaje de tiros falló?
Sin embargo, Roberto marcó 2 goles, siendo el 100% de sus tiros a puerta. ¿Por qué el porcentaje de goles de Roberto es mayor que el de Álvaro si Álvaro marcó más goles que Roberto?
Solución:
El total de tiros (100%) es el porcentaje que tenemos que calcular sabiendo que el 25% es 3:
Álvaro realizó un total de 12 tiros a puerta.
El total de tiros es el 100%, de los cuales el 25% fueron goles. Por tanto, los tiros que falló fueron los restantes, es decir, 100% - 25% = 75%. Fueron 9 los tiros fallidos, ya que 3 + 9 = 12.
El porcentaje de goles se calcula respecto del número total de tiros a puerta de cada uno de los jugadores. El porcentaje representa una proporción y la proporción de los tiros que fueron goles es mayor en Roberto que en Álvaro porque Roberto no falló ningún tiro y Roberto falló 9.
Que el porcentaje de goles de Roberto sea mayor no significa que marcara más goles que Álvaro.
Problema 4
En la hucha de María había 50€, pero ahora hay un 20% más.
- ¿Cuánto dinero tiene María en su hucha?
- ¿Se puede decir que María tiene ahora el 120% del dinero que tenía inicialmente o 100% es el máximo de un porcentaje?
Solución:
Tenemos que considerar los 50€ que tenía María como el 100%. Calculamos el 20% de 50€ y los sumamos:
Por tanto, María tiene ahora 50 + 10 = 60€ en su hucha.
Si los 50€ que tenía María eran el 100% de su dinero, entonces, al aumentar un 20%, tiene ahora 120%. Calculamos el 120% de 50€:
Aunque el 100% representa el total de una cantidad, podemos considerar porcentajes mayores que 100%: son cantidades mayores al total. Es lo que ocurre en este problema en el que la cantidad total aumenta.
Problema 5
María tenía en su hucha 60€, pero ahora le quedan 3€. ¿Qué porcentaje de los 60€ le quedan? ¿Qué porcentaje de dinero ha gastado?
Solución:
El total del dinero de María era 60€. Calculamos qué porcentaje son 3€:
A María le queda el 5% de los 60€ que tenía en su hucha.
Como le queda el 5%, esto significa que ha gastado el 95% del dinero que había en la hucha.
Problema 6
Axel ha gastado el 25% de su dinero en un videojuego. Si el precio del videojuego era de 45€, ¿cuánto dinero tenía Axel antes de la compra?
Solución:
Antes de la compra, Axel tenía el 100% de su dinero. Como sabemos que el 25% es 45€, podemos calcular el 100%:
Axel tenía 180€ antes de la compra.
Problema 7
Si se aplica un descuento del 15% a un coche de 15000€, ¿cuál será su precio? ¿Cuánto dinero se ha descontado?
Solución:
El 100% es el precio del coche (15000€). Si se resta un 15% de su precio, el precio final será el 85%:
El precio del coche será de 12750€.
El 15% descontado son 2250€.
Problema 8
En una tienda quieren rebajar 5€ el precio de un libro de 25€. ¿Qué porcentaje de descuento estarían aplicando?
Solución:
Como los 25€ son el 100%, calculamos qué porcentaje son 5€:
Si rebajan 5€, estarían aplicando un descuento del 20% del precio inicial.
Problema 9
Adrián medía 165cm, pero en un año ha crecido un 8%. ¿Cuánto mide ahora Adrián? ¿Cuántos centímetros ha crecido?
Solución:
Los 165cm son el 100% de la estatura de Adrián. Al crecer un 8%, ahora su estatura es el 108% de 165cm:
Adrián mide 178.2cm. Restando, ha crecido 13.2cm.
Problema 10
Si 6 de cada 10 alumnos aprobaron matemáticas, ¿cuántos alumnos aprobaron matemáticas en un aula de 30 alumnos?
Solución:
Recordad que el \(n\%\) es la proporción \(n/100\) (es decir, "\(n\) de cada 100").
La proporción \(6/10\) es el 60% porque
Por tanto, tenemos que calcular el 60% de 30:
Aprobaron 18 de los 30 alumnos del aula.
Problema 11
La experiencia de Sergio en un videojuego era de 1200xp. Después de una misión, su experiencia es el 130% de dicha cantidad. ¿Cuánta experiencia tiene ahora Sergio?
Solución:
Los 1200xp son el 100%. Calculamos el 130%:
Sergio tiene 1560xp de experiencia.
Problema 12
En un aula de 80 alumnos, el 45% son niñas, de las cuales, el 25% son rubias. ¿Cuántas niñas rubias hay en el aula?
Solución:
Para calcular el número de niñas rubias necesitamos calcular el número de niñas:
Hay 36 niñas. Calculamos su 25%:
En el aula hay 9 niñas rubias.
Problema 13
Colores de los ojos de un grupo 260 personas con la misma edad:
Calcular el número de personas que tienen los ojos verdes, azules y marrones.
Solución:
Sólo tenemos que calcular el 5%, el 15% y el 80% de 260.
Ojos verdes:
Ojos azules:
Ojos marrones:
Por tanto, hay 13 personas con ojos verdes, 39 con ojos azules y 208 con ojos marrones.
Problema 14
El precio de un videojuego era de 90€. Como no se vendió, se aplicó un descuento del 20%. Después de un año, se aplicó otro descuento del 20%. ¿Cuál es el precio actual del videojuego?
Solución:
Se aplican dos descuentos del 20%, pero esto no es el mismo que aplicar un 40% de descuento. Esto se debe a que el primer descuento es del 20% de 90€, pero el segundo es del 20% del precio ya rebajado.
Primer descuento:
Hemos calculado el 80% porque es el precio del videojuego si se descuenta un 20%.
Segundo descuento:
El precio del videojuego después de los dos descuentos del 20% es 57.6€.
Calculamos el descuento total aplicado con respecto al precio inicial:
El precio final es el 64% del precio inicial. Esto significa que se ha aplicado un 36% de descuento. Como decíamos al principio, no se trata de un 40%.
Problema 15
Escribir las siguientes proporciones en forma de porcentajes:
- 25 de cada 100
- 4 de cada 10
- 1 de cada 2
- 2 de cada 5
- la tercera parte
- la quinta parte
Solución:
Recordad que el \(n\%\) es la fracción \(n/100\).
-
25 de cada 100
-
4 de cada 10
Hemos multiplicado numerador y denominador por 10 para tener 100 en el denominador.
-
1 de cada 2
Hemos multiplicado por 10 y por 5 para tener 100 en el denominador.
-
2 de cada 5
Hemos multiplicado por 10 y por 2.
-
la tercera parte
La tercera parte es "1 de cada 3". Es más rápido calcular el porcentaje dividiendo el 100% entre 3:
-
la quinta parte
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