Integración por sustitución o cambio de variable

En esta página explicamos el método de integración por sustitución o cambio de variable a través de 4 ejemplos.

Como es de suponer por su nombre, el método de sustitución consiste en aplicar un cambio de variable para transformar el integrando en una función más simple de integrar.

Notación: escribiremos la función logaritmo natural (logaritmo en base \(e\)) como \(ln⁡(·)\).



El método

Explicaremos el método mediante ejemplos, pero el esquema es el siguiente (si resulta demasiado técnico, podéis dejarlo pasar).

Dada la integral indefinida

$$\int{ f(x) dx }$$

1. Definimos un cambio de variable \(s = h(x)\).

2. Calculamos la inversa del cambio de variable, es decir, \( x = h^{-1}(s)\), y la derivamos:

$$ dx = \frac{1}{h'(s)} ds $$

3. Aplicamos el cambio en la integral:

$$ \int{ f(x) dx } = $$

$$ = \int{ f(h^{-1}(s))\cdot \frac{1}{h'(s)} ds }$$

4. Resolvemos la integral obtenida.

5. Para terminar, deshacemos el cambio de variable (escribimos la primitiva en función de \(x\) en lugar de \(s\)).

Como se observa en los ejemplos que veremos, la elección del cambio de variable es la clave para que el método funcione. En la siguiente tabla se recogen los cambios que habitualmente suelen funcionar:

Tabla con cambios útiles

Método de integración por sustitución o cambio de variable explicado con ejemplos. Integrales resueltas por cambio de variable. Incluye tabla con los cambios que suelen funcionar. Análisis de una variable real.

Integrales resueltas



Nota previa: algunas de las integrales que resolvemos son directas o se pueden resolver mediante otros métodos.

Integral 1

Integral con raíz cuadrada.

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Solución

Integral 2

Integral con exponenciales.

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Solución

Integral 3

Integral con funciones trigonométricas.

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Solución



Para simplificar el resultado de la siguiente integral, utilizaremos

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Integral 4

Integral con la raíz \( \sqrt{a^2-b^2x^2}\).

Método de integración por sustitución o cambio de variable explicado con ejemplos. Integrales resueltas por cambio de variable. Incluye tabla con los cambios que suelen funcionar. Análisis de una variable real.

Nota: la resolución de la integral es sencilla, pero bastante larga.

Solución


Más integrales por sustitución: 10 integrales resueltas por cambio de variable.




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