Integración por partes

En esta página explicamos el método de integración por partes paso a paso. Calcularemos 11 integrales mediante este método para ver el procedimiento. Este método se basa en la aplicación de la siguiente fórmula:

$$ \int{u\ dv } = u\cdot v -\int{v\ du}$$

donde

El método se aplica, sobre todo, cuando el integrando es un producto de funciones.

Notación: escribiremos la función logaritmo natural (logaritmo en base e) como \(ln⁡(x)\).



Ejemplo

Calculamos la integral

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

El integrando es un producto de dos funciones.

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Es importante pensar la elección de \(u\) y \(dv\) porque luego tenemos que derivar \(u\) e integrar \(dv\). Además, tenemos que calcular la integral de la fórmula.

Si escogemos \(u=x\), entonces su derivada es \(du=dx\). Pero, entonces, tenemos que escoger \(dv=ln(x)dx\) y para calcular \(v\) tenemos que integrar el logaritmo.

Por tanto, escogemos la otra opción:

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

Para calcular \(du\) tenemos que derivar \(u\):

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Para calcular \(v\) tenemos que integrar \(dv\):

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

3. Aplicamos la fórmula

Sólo tenemos que sustituir las variables de la fórmula:

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

4. Calculamos la integral que queda

La integral que queda es inmediata:

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Por tanto,

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

No olvidéis la constante de integración \(K\).


Más integrales resueltas

No es necesario tener un producto en el integrando para aplicar integración por partes. La siguiente integral es un ejemplo de ello.

Integral 1

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

En algunas integrales tendremos que aplicar el método varias veces. En estos casos, es importante mantener la elección de los factores \(u\) y \(dv\). La siguiente integral es un ejemplo de ello.

Integral 2

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Integral 3

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Elegimos un método de integración u otro según nuestra intuición. La siguiente integral la resolvemos por el método de integración por partes, pero la podemos resolver también fácilmente por el método de sustitución (con el cambio \(s^2=x+1\)).

Integral 4

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución


Hasta ahora, hemos hablado siempre de productos. Sin embargo, el método podemos utilizarlo para cocientes. Un ejemplo de ello es la siguiente integral.

Integral 5

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Muchas veces, tenemos que despejar la integral de la fórmula de integración por partes como hacemos en la siguiente integral.

Integral 6

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Integral 7

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Integral 8

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Integral 9

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución

Integral 10

Método de integración por partes explicado e integrales resueltas. Análisis de una variable.

Solución


Más problemas similares: 21 integrales resueltas por partes.




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