Antes que nada, aprovechamos las propiedades de los logaritmos para simplificar el integrando:

Vamos a calcular la integral del logaritmo natural (luego ya multilicaremos por 2).

Podemos escribir el integrando como un producto para ver claramente la aplicación de la fórmula:

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Obviamente, no debemos escoger \(dv=ln(x)dx\) ya que entonces, tendríamos que calcular la integral del logaritmo, que es precisamente lo que estamos haciendo. Por tanto,

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

Derivamos e integramos:

3. Aplicamos la fórmula

Sustituimos en la fórmula:

Por tanto, la integral del problema es

El integrando es un producto de dos funciones.

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

No importa si \(e^x\) es \(u\) ó \(dv\) porque tanto su derivada como su integral es \(e^x\).

Si escogemos \(dv=x^2\), tendremos que calcular la integral

Así que es mejor escoger \(u=x^2\) para bajar el grado del monomio.

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la integral que nos queda. Para no deshacer los cálculos anteriores, mantenemos la elección de \(u\) y \(dv\):

Por tanto,

Volviendo al comienzo,

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

No importa si \(cos⁡(x)\) es \(dv\) ó \(u\) porque tanto su integral como su derivada son \( \pm sin⁡(x)\).

Escogemos \(u=x^2\) para rebajar su grado.

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la integral que nos falta. Como dijimos en el problema anterior, debemos mantener la elección de los factores \(u\) y \(dv\):

Aplicamos la fórmula:

Por tanto,

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Como en los problemas anteriores, escogemos \(u=x\) para rebajar su grado.

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

Vamos a escribir la raíz como una potencia:

La derivada de \(u\) es inmediata:

Calculamos \(v\) integrando \(dv\):

Por si lo necesitáis, vamos a escribir el cálculo de \(v\):

3. Aplicamos la fórmula

Si operamos un poco, el resultado final queda como

Para aplicar el método cuando el integrando es un cociente, sólo hay que escribir el cociente como un producto:

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Como en las integrales anteriores, el logaritmo debe ser el factor \(u\).

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

En esta integral no importa cuáles sean \(u\) y \(dv\) porque es irrelevante derivar o integrar la exponencial o el seno. Escogemos, por ejemplo,

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

Aplicamos de nuevo integración por partes:

Volviendo al comienzo, tenemos

Pasamos la integral del lado derecho sumando al lado izquierdo:

De donde podemos aislar la integral que buscamos:

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Escogemos \(u=x^3\) para rebajar su grado.

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

Repetimos el proceso dos veces más:

Observad que, por ejemplo, para resolver la integral de \(x^{100}\cdot e^x\) tendríamos que aplicar integración por partes 100 veces.

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Escogemos \(u=x\) para eliminar este factor de la integral.

Recordad que la derivada de \(a^x\) es \(a^x\cdot ln⁡(a)\).

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Escogemos el logaritmo como \(u\).

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula

1. Identificamos \(u\) y \(dv\)

Elegimos \(u=arccos⁡(x)\) y \(dv=dx\).

2. Calculamos \(du\) y \(v\)

3. Aplicamos la fórmula