Primero calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación, después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:
Enlace: Ejercicios interactivos (operaciones con enteros)
La potencia \(a^n\) representa el producto que tiene \(n\) veces el número \(a\). El número \(a\) se llama base y el número \(n\) se llama exponente.
Ejemplo: las primeras potencias de 2 son
Calcular las potencias \(3^2\), \(5^3\), \(11^1\), \(7^0\), \(1^{22}\), \(6^2\) y \(0^{20}\).
La potencia \(3^2\) (tres al cuadrado) es el producto de dos treses:
La potencia \(5^3\) (cinco al cubo) es el producto de tres cincos:
La potencia \(11^1\) (once elevado a uno) es el producto de un once:
La potencia \(7^0\) (siete elevado a cero) es el producto de cero sietes:
La potencia \(1^{22}\) (uno elevado a veintidós) es el producto de veintidós unos:
La potencia \(6^2\) (seis al cuadrado) es el producto de dos seises:
La potencia \(0^{20}\) (cero elevado a veinte) es el producto de veinte ceros:
Por lo que hemos visto, podemos decir:
Dicho en palabras,
Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.
Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la base.
Si el exponente de una potencia es 0, el resultado es 1.
Calcular las siguientes potencias de números negativos: \((-1)^2\), \((-2)^3\), \((-5)^2\) y \((-1)^5\).
Ayuda: utilizar la regla de los signos (el producto de números con el mismo signo es un número positivo y el producto de números con signos distintos es un número negativo).
La potencia \((-1)^2\) es el producto de dos unos negativos:
La potencia \((-2)^3\) es el producto de tres doses negativos:
La potencia \((-5)^2\) es el producto de dos cincos negativos:
La potencia \((-1)^5\) es el producto de cinco unos negativos:
Observad que si la base de una potencia es negativa:
El resultado es positivo si el exponente es par.
El resultado es negativo si el exponente es impar.
Esto puede resumirse como:
Comprobar que \((-3)^3 = -(3^3)\) y que \((-5)^2 = 5^2\).
La potencia \((-3)^3\) es el producto de tres treses negativos:
La potencia \((-5)^2\) es el producto de dos cincos negativos:
La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:
La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo \(-n\) es el inverso del número elevado a \(n\):
Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:
El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:
El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:
Calcular los siguientes productos de potencias:
Calcular los siguientes cocientes de potencias:
La potencia de una potencia con base \(a\) es la potencia con base \(a\) y cuyo exponente es el producto de los exponentes:
Calcula las siguientes potencias de potencias:
La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:
La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:
Calcular las siguientes potencias de fracciones:
Calculamos la potencia \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\):
Calculamos la potencia \(\left(\frac{5}{3}\right)^2\):
Calculamos la potencia \(\left(\frac{3}{2}\right)^4\):
El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa (intercambiar el numerador y el denominador):
La potencia de una fracción con exponente negativo \(-n\) es la potencia del inverso de la fracción con exponente \(n\):
Calcular las siguientes potencias cuyos exponentes son negativos:
Escribimos la potencia \((2\cdot 3)^{-3}\) como el producto de las potencias:
La potencia de una fracción con exponente negativo -3 es la potencia del inverso con exponente 3:
Repetimos los pasos:
Repetimos el proceso, pero ahora tenemos una base negativa:
Escribir los siguientes números como productos de potencias cuyas bases sean números primos: 56, 60 y 90.
Descomponemos el número 56:
Descomponemos el número 60:
Descomponemos el número 90:
Las propiedades de las potencias nos permiten simplificar operaciones.
Simplificar la siguiente operación entre potencias escribiendo las bases como productos de números primos:
Si tuviésemos que calcular la operación sin simplificarla, tenríamos que operar con números muy grandes. Vamos a aplicar las propiedades que hemos visto para simplificarla.
El primer paso es escribir las bases como productos. El número 6 puede escribirse como \(2\cdot 3\), el número 20 como \(2^2 \cdot 5\), el número 125 como \(5^3\), el número 25 como \(5^2\) y el número 12 como \(3\cdot 2^2\):
Ahora aplicamos la propiedad de la potencia de un producto:
Ahora calculamos los productos y cocientes de las potencias que tienen base común (los exponentes del numerador suman y los del denominador restan):
Más problemas similares: Calcular y simplificar potencias