Potencias

Primero calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación, después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

Enlace: Ejercicios interactivos (operaciones con enteros)


Definición

La potencia \(a^n\) representa el producto que tiene \(n\) veces el número \(a\). El número \(a\) se llama base y el número \(n\) se llama exponente.

Ejemplo: potencias de 2:

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Problema 1

Calcular las potencias \(3^2\), \(5^3\), \(11^1\), \(7^0\), \(1^{22}\), \(6^2\) y \(0^{20}\).

Solución

Por lo que hemos visto, podemos decir:

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Dicho en palabras,

Problema 2

Calcular las siguientes potencias de números negativos: \((-1)^2\), \((-2)^3\), \((-5)^2\) y \((-1)^5\).

Ayuda: utilizar la regla de los signos (el producto de números con el mismo signo es un número positivo y el producto de números con signos distintos es un número negativo).

Solución

Observad que si la base de una potencia es negativa:

Esto puede resumirse como:

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Problema 3

Comprobar que \((-3)^3 = -(3^3)\) y que \((-5)^2 = 5^2\).

Solución

Exponente negativo

La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:

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La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo \(-n\) es el inverso del número elevado a \(n\):

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Problema 4

Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:

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Solución

Producto y cociente de potencias

El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:

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El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:

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Problema 5

Calcular los siguientes productos de potencias:

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Solución

Problema 6

Calcular los siguientes cocientes de potencias:

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Solución

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia con base \(a\) es la potencia con base \(a\) y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

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Problema 7

Calcula las siguientes potencias de potencias:

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Solución

Potencia del producto y del cociente

La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:

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La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:

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Problema 8

Calcular las siguientes potencias de fracciones:

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Solución

Potencia de una fracción con exponente negativo

El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa (intercambiar el numerador y el denominador):

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La potencia de una fracción con exponente negativo \(-n\) es la potencia del inverso de la fracción con exponente \(n\):

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Problema 9

Calcular las siguientes potencias cuyos exponentes son negativos:

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Solución

Problema 10

Escribir los siguientes números como productos de potencias cuyas bases sean números primos: 56, 60 y 90.

Solución

Las propiedades de las potencias nos permiten simplificar operaciones.

Problema 11

Simplificar la siguiente operación entre potencias escribiendo las bases como productos de números primos:

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Solución


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